MéthodesComprendre

Comment apprendre ses démonstrations

Par Rimbaud Boniface, fondateur de Mindera7 min de lecture

En bref

Une démonstration ne s'apprend pas par cœur. Elle se retient par son idée clé et par l'ordre de ses étapes : le reste se reconstruit.

Apprise ligne à ligne, elle tient jusqu'à la première ligne oubliée. Apprise par sa logique, elle résiste à un trou de mémoire, et même à une question de l'examinateur.

Dans cet article : pourquoi le par-cœur lâche, une méthode en trois temps, une démonstration à dérouler toi-même, et les cartes à en tirer.

Essayer sur une démonstration

Pourquoi le par-cœur échoue

Une démonstration apprise par cœur est une chaîne. Chaque ligne n'est reliée qu'à la précédente. Tu en oublies une, et tout ce qui suit disparaît avec elle.

C'est aussi ce qui te perd en colle. L'examinateur change une hypothèse, demande pourquoi tu as le droit de diviser, ou te fait commencer par la fin. Une suite de lignes récitée ne répond à aucune de ces questions. Une logique comprise, si.

Chi et ses collègues (1989) ont observé des étudiants en train d'étudier des exercices résolus de mécanique. Ceux qui réussissent ensuite ne lisent pas plus : ils s'expliquent chaque étape. Pourquoi ce passage, à quel principe il se rattache, à quelle condition il est permis. Les autres suivent les lignes sans se le demander.

La méthode en trois temps

  1. Trouve l'idée clé. Une phrase, sans calcul. « On raisonne par l'absurde », « on encadre puis on passe à la limite », « on applique le premier principe sur un cycle ». Si tu ne peux pas la dire, tu n'as pas encore compris la démonstration.

  2. Découpe en étapes. Trois à six, pas plus. Chaque étape tient en une ligne et commence par un verbe : supposer, écrire, en déduire, conclure. Tu obtiens le plan de la démonstration.

  3. Cherche chaque étape avant de la lire. Cache la suite, essaie de trouver l'étape suivante, puis vérifie. Tu passes plus de temps sur chaque ligne, et c'est le but.

Ce troisième temps est celui qui fait la différence. Slamecka et Graf (1978) ont montré qu'on retient mieux ce qu'on produit soi-même que ce qu'on lit : c'est l'effet de génération. Une étape que tu as trouvée, même péniblement, tient mieux qu'une étape lue.

Sur un exemple : le rendement de Carnot

L'idée clé : appliquer les deux principes à un cycle. Le plan tient en quatre étapes.

  1. Ce que dit le premier principe sur un cycle complet
  2. L'inégalité qu'impose le second principe aux chaleurs échangées
  3. Le cas du cycle réversible, où l'inégalité devient une égalité
  4. La conclusion : le rendement est plafonné

Avec ça en tête, la rédaction complète se retrouve. Sans ça, tu récites.

À toi : une démonstration, étape par étape

Une démonstration que tu as sûrement déjà vue. L'idée clé t'est donnée. Pour chaque étape, lis ce qu'il faut trouver, cherche, puis ouvre.

À démontrer

2\sqrt{2} est irrationnel.

L'idée clé. Raisonner par l'absurde : écrire 2\sqrt{2} comme une fraction irréductible, et montrer qu'elle ne peut pas l'être.

  1. Étape 1 · à trouverPar quoi commence un raisonnement par l'absurde ?

    On suppose le contraire : 2\sqrt{2} est rationnel. On peut donc écrire 2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q}, avec pp et qq entiers, q≠0q \neq 0, et la fraction irréductible.

  2. Étape 2 · à trouverComment faire disparaître la racine ?

    On élève au carré : p2=2q2p^2 = 2q^2. Donc p2p^2 est pair.

  3. Étape 3 · à trouverQue sait-on de p, si son carré est pair ?

    Alors pp est pair, car le carré d'un nombre impair est impair. On écrit p=2kp = 2k.

  4. Étape 4 · à trouverQue devient l'égalité quand on remplace p ?

    4k2=2q24k^2 = 2q^2, donc q2=2k2q^2 = 2k^2. Ainsi q2q^2 est pair, et qq est pair lui aussi.

  5. Conclusion · à trouverOù est la contradiction ?

    pp et qq sont tous les deux pairs : la fraction se simplifie par 2, alors qu'on l'avait supposée irréductible. L'hypothèse est fausse, donc 2\sqrt{2} est irrationnel.

Cherche chaque étape avant de l'ouvrir, même dix secondes. C'est ce moment-là qui fait retenir.

Remarque ce que tu viens de faire : tu n'as récité aucune ligne. Tu as suivi une idée, et chaque étape en découlait. Dans une semaine, c'est l'idée qui te restera, et elle suffira à refaire le reste.

Les cartes qui vont avec

Une démonstration ne tient pas dans une seule carte. « Démontre que 2\sqrt{2} est irrationnel » au recto, c'est une demi-page au verso : impossible de dire honnêtement si tu avais bon. Fais-en trois sortes.

Une carte pour l'idée clé

C'est la plus importante, et la plus courte.

Arithmétique

Quelle est l'idée de la démonstration de l'irrationalité de √2 ?

Par l'absurde : on écrit √2 = p/q irréductible, et on montre que p et q sont tous les deux pairs.

Une carte de méthode pour le plan

Le recto pose la situation, le verso donne les étapes dans l'ordre. Tu la révises en retrouvant chaque étape avant de regarder la suivante.

Arithmétique

Quelles sont les étapes pour montrer que √2 est irrationnel ?
  1. Supposer √2 = p/q, fraction irréductible.
  2. Élever au carré : p² = 2q², donc p est pair.
  3. Poser p = 2k : q² = 2k², donc q est pair.
  4. Conclure : la fraction n'était pas irréductible.

Des cartes à trous pour les étapes qui coincent

Chaque démonstration a un passage où l'on bute. Ici, c'est le lien entre le carré et le nombre. Une carte, un trou.

Arithmétique

Si p² est pair, alors p est […], car le carré d'un nombre impair est impair.

pair

Pour bien les écrire, voir les règles d'une bonne carte.

Dans Mindera, les cartes de méthode se révisent étape par étape : chaque appui en dévoile une, et tu ne te notes qu'à la fin. La fonction est récente, on continue de l'améliorer.

Spécial colle : ce qu'on attend de toi

Ce qui suit n'est tiré d'aucune étude : ce sont des conseils de terrain. Quand un examinateur demande une démonstration de cours, il ne vérifie pas ta mémoire. Il regarde si tu sais où tu vas.

  1. Annonce l'idée avant d'écrire. Une phrase : « je vais raisonner par l'absurde ». L'examinateur sait que tu as compris, et toi tu sais où tu vas.

  2. Écris les hypothèses, et dis où elles servent. « Fraction irréductible » n'est pas un détail : c'est ce qui crée la contradiction. Une hypothèse qui ne sert nulle part est un signal d'erreur.

  3. Si tu bloques, dis ce que tu cherches. « Je veux montrer que q est pair » vaut mieux qu'un silence. Le plan que tu as en tête te sert exactement à ça.

  4. Conclus. Reviens à ce qu'on te demandait, en une phrase. Beaucoup de démonstrations justes s'arrêtent une ligne trop tôt.

Les questions qu'on se pose

Faut-il apprendre ses démonstrations par cœur ?
Non. Retiens l'idée clé et l'ordre des étapes : la rédaction se reconstruit à partir de là. Ce qui se sait au mot près, c'est l'énoncé du théorème et ses hypothèses, pas les lignes de calcul.
Comment savoir si je la sais vraiment ?
Feuille blanche, cours fermé. Si tu peux la refaire en disant à voix haute pourquoi chaque étape suit la précédente, tu la sais. Si tu la reconnais seulement en la relisant, tu ne la sais pas encore.
Je bloque toujours à la même étape. Que faire ?
Cette étape mérite sa propre carte. C'est presque toujours une astuce : un changement de variable, une quantité qu'on ajoute et qu'on retranche. Fais-en une question (« quelle astuce débloque le calcul ? ») et révise-la à part.

Mindera déroule l'étape suivante avec toi

Sur un exercice ou une carte, « Explique-moi pas à pas » déroule la résolution étape par étape, et te laisse chercher avant de montrer la suite. C'est la méthode de cet article, sur ton propre cours.

Essayer MinderaVoir « Explique-moi pas à pas »

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Sources

  1. Chi, M. T. H., Bassok, M., Lewis, M. W., Reimann, P. et Glaser, R. (1989). Self-explanations: How students study and use examples in learning to solve problems. Cognitive Science, 13(2), 145-182. Lire la source https://doi.org/10.1207/s15516709cog1302_1
  2. Slamecka, N. J. et Graf, P. (1978). The generation effect: Delineation of a phenomenon. Journal of Experimental Psychology: Human Learning and Memory, 4(6), 592-604. Lire la source https://doi.org/10.1037/0278-7393.4.6.592
  3. Dunlosky, J., Rawson, K. A., Marsh, E. J., Nathan, M. J. et Willingham, D. T. (2013). Improving students' learning with effective learning techniques: Promising directions from cognitive and educational psychology. Psychological Science in the Public Interest, 14(1), 4-58. Lire la source https://doi.org/10.1177/1529100612453266